Selasa, 19 Februari 2013

MENGHITUNG MATRIKS

Menghitung Determinan Matriks Menggunakan Kofaktor

 
 
 
 
 
 
3 Votes

Pada tulisan ini saya akan membagikan sidikit ilmu yang saya dapat tentang bagaimana cara menghitung determinan matriks. Metode yang digunakan adalah menggunakan Ekspansi Kofaktor. Metode ini tidak hanya digunakan untuk menghitung determinan matriks 2×2 atau 3×3 tapi digunakan untuk matriks yang berordo lebih besar lagi seperti, 4×4, 5×5 dan seterusnya. Untuk menghitung determinan menggunakan metode ini, rumusnya dijamin oleh Teorema berikut.
Teorema :
Determinan matriks A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan yakni untuk setiap 1 \leq i \leq n dan 1 \leq j \leq n, maka
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j)
atau
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)
Untuk lebih memperjelas apa itu kofaktor, perhatikan Definisi dibawah ini.
Definisi :
Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan (-1)i+jMij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri aij.
Contoh 1 :
Misalkan kita punya matriks A = \left [ \begin{array}{rrr} 3& 1& -4\\ 2& 5& 6\\ 1& 4& 8 \end{array} \right ]. Tentukan minor entri a11, a12, dan a13. Tentukan juga kofaktor entri M11, M12 dan M13 !
Penyelesaian :
minor entri a11 adalah M11 = \left | \begin{array}{rrr} 3& 1& -4\\ 2& 5& 6\\ 1& 4& 8 \end{array} \right | = \left | \begin{array}{rr} 5& 6\\ 4& 8 \end{array} \right | = 5(8) – 4(6) = 16
kofaktor a11 adalah C11 = (-1)1+1M11 = (-1)2(16) = 16
minor entri a12 adalah M12 = \left | \begin{array}{rrr} 3& 1& -4\\ 2& 5& 6\\ 1& 4& 8 \end{array} \right | = \left | \begin{array}{rr} 2& 6\\ 1& 8 \end{array} \right | = 2(8) – 1(6) = 10
kofaktor a12 adalah C12 = (-1)1+2M12 = (-1)3(10) = -10
minor entri a13 adalah M13 = \left | \begin{array}{rrr} 3& 1& -4\\ 2& 5& 6\\ 1& 4& 8 \end{array} \right | = \left | \begin{array}{rr} 2& 5\\ 1& 4 \end{array} \right | = 2(4) – 1(5) = 3
kofaktor a13 adalah C13 = (-1)1+3M13 = (-1)4(3) = 3
Contoh 2 :
Dari Contoh 1 diatas, tentukan determinan matriks A
Penyelesaian :
Menggunakan yang diberikan pada Teorema diatas dengan mengambil i = 1 dan j = 1, 2, dan 3, maka diperoleh.
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13
= 3(16) + 1(-10) + (-4)(3)
= 48 – 10 – 3
= 35
Contoh 3 :
Tentukan determinan matriks A = \left [ \begin{array}{rrr} 0& 6& 0\\ 8& 6& 8\\ 3& 2& 2 \end{array} \right ]
Penyelesaian :
Menggunakan yang diberikan pada Teorema diatas dengan mengambil i = 3 dan j = 1, 2, dan 3, maka diperoleh.
det(A) = \left | \begin{array}{rrr} 0& 6& 0\\ 8& 6& 8\\ 3& 2& 2 \end{array} \right |
= a31C31 + a32C32 + a33C33
= a31(-1)3+1M31 + a32(-1)3+2M31 + a33(-1)3+3M31
= a31M31 – a32M31 + a33M31
= 3\left | \begin{array}{rr} 6& 0\\ 6& 8 \end{array} \right | – 2\left | \begin{array}{rr} 0& 0\\ 8& 8 \end{array} \right | + 2\left | \begin{array}{rr} 0& 6\\ 8& 6 \end{array} \right |
= 3[6(8)-0(6)] – 2[0(8)-8(0)] + 2[0(6)-8(6)]
= 144 – 0 – 96
= 48
atau jika ingin lebih cepat, kita bisa melihat entri yang mengandung nol agar lebih mempersingkat waktu mengerjakan. Karena dalam baris pertama terdapat dua entri nol, maka i = 1 dan j = 1, 2, 3 kemudian gunakan rumus.
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13
= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13
= a11M11 – a12M12 + a13M13
= 0\left | \begin{array}{rr} 6& 8\\ 2& 2 \end{array} \right | – 6\left | \begin{array}{rr} 8& 8\\ 3& 2 \end{array} \right | + 0\left | \begin{array}{rr} 8& 6\\ 3& 2 \end{array} \right |
= 0 – 6[8(2)-8(3)] + 0
= 48
Contoh 4 :
Tentukan determinan matriks B = \left [ \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 2& 1& 0\\ 0& 1& 2& 3 \end{array} \right ]
Penyelesaian :
dengan menggunakan kolom pertama pada matriks B sebagai kofaktor dan berdasarkan Teorema diatas dengan mengambil i = 1, 2, 3, 4 dan j = 1 maka diperoleh.
det(B) = \left | \begin{array}{rrrr} 2& 1& 3& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 2& 1& 0\\ 0& 1& 2& 3 \end{array} \right |
= a11C11 + a21C21 + a31C31 – a41C41
= a11(-1)1+1M11 + a21(-1)2+1M21 + a31(-1)3+1M31 + a41(-1)4+1M41
= a11M11 – a21M21 + a31M31 + a41M41
= 2\left | \begin{array}{rrr} 0& 1& 1\\ 2& 1& 0\\ 1& 2& 3 \end{array} \right | – 1\left | \begin{array}{rrr} 1& 3& 1\\ 2& 1& 0\\ 1& 2& 3 \end{array} \right | + 0\left | \begin{array}{rrr} 1& 3& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 2& 3 \end{array} \right | – 0\left | \begin{array}{rrr} 1& 3& 1\\ 0& 1& 1\\ 2& 1& 0 \end{array} \right |
hitung lagi determinan untuk matriks 3×3 nya
= 2[ambil i = 1 dan j = 1, 2, 3] – 1[ambil i = 1, 2, 3 dan j = 3] {untuk matriks ketiga dan keempat tidak perlu dihitung karena koefesiennya 0, sehingga apabila dikali, hasilnya akan tetap = 0}
= 2[a11C11 + a12C12 + a13C13] – 1[a13C13 + a23C23 + a33C33] + 0 – 0
= 2[a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13] -  1[a13(-1)1+3M13 + a23(-1)2+3M23 + a33(-1)3+3M33]
= 2[a11M11 – a12M12 + a13M13] – 1[a13M13 + a23M23 + a33M33]
= 2(0\left | \begin{array}{rr} 1& 0\\ 2& 3 \end{array} \right | – 1\left | \begin{array}{rr} 2& 0\\ 1& 3 \end{array} \right | + 1\left | \begin{array}{rr} 2& 1\\ 1& 2 \end{array} \right |) – 1(1\left | \begin{array}{rr} 2& 1\\ 1& 2 \end{array} \right | – 0\left | \begin{array}{rr} 1& 3\\ 1& 2 \end{array} \right | + 3\left | \begin{array}{rr} 1& 3\\ 2& 1 \end{array} \right |)
= 2(0[1(3)-2(0)] – 1[2(3)-1(0)] + 1[2(2)-1(1)]) – 1(1[2(2)-1(1)] – 0[1(2)-1(3)] + 3[1(1)-2(3)])
= 2(0 – 6 + 3) – 1(3 – 0 + 3(-5))
= -6 + 12
= 6

RUMUS DETERMINAN

MATRIKS

1. Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan atau unsur yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut disebut elemen-elemen atau komponen-komponen matriks. Nama sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital. Banyak baris x banyak suatu kolom dari suatu matriks disebut ordo matriks.
Secara umum matriks dapat ditulis dengan :


Dalam hal ini aij disebut elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j.

2. Beberapa Jenis Matriks
(i) Matriks Nol (0)
Adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.
Adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.
(ii) Matriks bujur sangkar
Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.

(iii) Matriks Bujur sangkar
Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.

(iv) Matriks Diagonal
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar elemen diagonal utama bernilai nol.

(v) Matriks Identitas
Adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai satu.


(vi) Matriks Segitiga Atas
Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya bernilai nol.

(vii) Matriks Segitiga Bawah
Adalah Matriks bujur sangkar yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya bernilai nol.


3. Operasi Matriks
  1. Penjumlahan atau pengurangan matriks
Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordo A = ordo B
b. Perkalian Matriks dengan Skalar Jika Skalar dikalikan dengan matriks, maka akan diperoleh sebuah matriks yang elemen- elemennya merupakan perkalian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks.


Sifat-sifat:


c. Perkalian Dua Matriks
Dua matriks
A dan B dapat dikalikan bila banyak kolom matriks pertama (kiri) sama dengan banyak baris matriks kedua (kanan).
Jika diketahui Matriks Amxn dan Bnxk maka :



4. Transpos Matriks
Transpos dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Tranpos dari matriks A dinotasikan dengan AT atau At.

Sifat : (AT) T = A

5. Determinan Matriks
Matriks yang mempunyai determinan hanyalah matriks bujur sangkar (banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom).


Sifat-sifat determinan matriks:



6. Invers matriks
Bila
maka invers dari A adalah :

Syarat ad-bc 0

Contoh :

Jawab:

Sifat-sifat :